Vorlesungen über höhere Geometrie by Oswald Giering PDF

By Oswald Giering

ISBN-10: 3322835529

ISBN-13: 9783322835529

ISBN-10: 3528084928

ISBN-13: 9783528084929

VI zahlreiche Eigenschaften der Cayley/Klein-Raume bereitgestellt. AbschlieBend erfolgt im Rahmen der projektiven Standardmodelle eine Einflihrung in die Kurven- und Hyperflachentheorie der Cay ley/Klein-Raume (Kap. 21,22) und ein kurzgefaBtes Kapitel liber die differentialgeometrische Literatur mit einem Abschnitt liber Anwendungen der Cayley/Klein-Raume (Kap. 23). Zahlreiche Themen, die in den gebotenen Rahmen fallen, konnten nicht oder nur am Rande betrachtet werden. Dazu gehoren die af finen, axialen, biaxialen und symplektischen Raume, die zugeho rigen Geometrien sowie die Entwicklung und Verwendung von Spe zialkalklilen, etwa des Quaternionenkalklils. Auch ein detaillier tes Studium einzelner Cayley/Klein-Geometrien muBte unterbleiben. Hier konnen die Freunde spezieller Cayley/Klein-Geometrien nicht alle Erwartungen erflillt finden. Bemerkungen und die Abschnitte Blick in die Literatur versuchen jedoch, einerseits dem interes sierten Leser weiterzuhelfen und andererseits den Gebrauch des Literaturverzeichnisses zu erleichtern. Es enthalt vorbereitende, erganzende und weiterflihrende Literatur sowie Literatur, die in Teilaspekten mit der Stoffauswahl zusammenhangt. Es zeigt viel faltige Arbeitsrichtungen auf, gibt Anregungen und ladt zur Ver tiefung ein. Soweit es der Umfang des Buches erlaubte, wurden Aufgaben zur Einlibung des Stoffes eingefligt. Die Figuren sindflir alle Leser bestimmt, denen sie nlitzen. Jlingere Studenten, dieih re Raumanschauung und die Fahigkeit zur Interpretation von Figu ren noch nicht hinreichend entwickelt haben, mogen Figuren zu nachst nicht als Unterstlitzung des Textesempfinden. EinigeObun gen im Anschauungsraum werden jedoch genligen, umFiguren schatzen zu lernen. Der Stoff ist in 23 Kapitel gegliedert. Jedes Kapitel besteht aus Abschnitten (A, B, . . . ), einzelne Abschnitte bestehen aus - terabschnitten (1,2, . . . ).

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Man kann daher jeden projektiven Raum als projektiven Punktraum, aber auch als projektiven Hyperebenenraum auffassen. 3) Das Dualitatsprinzip der projektiven Raume hat zur Folge,daB jeder Projektivinvarianten im Punktraum pn eine Projektivx invariante im Hyperebenenraum pn dual zugeordnet ist. Beispiele: DemDoppelverhaltnis von 4 Punkten einer Geraden des pn entspricht xn das Doppelverhal tnis von 4 Hyperebenen einer Hypergeraden des P . Der Dimension einer k-Ebene des pn entspricht die Dimension einer (n-k-1)-Ebene des pn.

Von genau n(n+2) unabhangigen Parametern abhangige - Gruppe, die projektive Gruppe PGL(pn). Jeder bezUglich aller Projektivitaten invariante Begriff in pn heiBt eine Projektivinvariante oder projektivinvariant (kurz: projektiv). Die Ermittlung aller Projektivinvarianten der projektiven Gruppe heiBt die Invariantentheorie der projektiven Gruppe. Beweis: Die linearen Automorphismen des pn+l induzieren die Projektivitaten des pn. Die VerknUpfung von Projektivitaten ist daher eine innere VerknUpfun)< in der Menge der Projektivitaten.

T sich dies stets erreichen, insbesondere stets Uber K = G:. Wir vermerken dieses Ergebnis ohne Beweis in Satz 2: Eine Quadrik Qn-l:=' {X(x) € pnl F(x)=O} bestimmt eine quadratische Form F(x) und damit die zugehorige Bilinearform F(x,y) bis auf einen konstanten Faktor A € K\{O} eindeutig (eventuell erst Uber einem quadratisch genUgend erweiterten Korper K', K c: K', X(K)+2). FUr K = G: ist keine Korpererwei terung erforderlich, fUr Ist K = JR Qn-l = {X(x) € pnIF(x)=O} genUgt K' = C. nkte Abbildung F: pn+l)( pn+l_ K von der Nullabbildung verschieden ist.

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by Brian
4.2

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